2018年全国高考零分作文新鲜出炉

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这是一个非常传奇的故事

1943年，美国轰炸机受到德国防空的严重影响，美军认为，需要一些关于如何减少损失的建议，所以他们咨询了哥伦比亚大学统计研究小组的专家，看看能采取的最佳方案是什么…….

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没想到这个故事

竟然成为了2018高考作文的材料！

今天，

大喵就来和诸位一起聊聊，

这道高考作文题背后的故事。

↓↓↓

1943年

空袭德军目标的美国轰炸机受到德国空军的严重影响，损失率居高不下。美军认为，需要一些关于如何减少损失的建议，所以他们咨询了哥伦比亚大学统计研究小组的专家，看看能采取的最佳方案是什么。一种可能性是加强飞机的装甲，但装甲太重，增加太多装甲会大大降低飞机性能。另一种可能则是干脆不要装甲。因此，空军咨询统计研究小组，应该使用多少装甲来获得最佳效果，以及组需要装甲的飞机部位是哪里。

返航飞机的中弹情况

沃德“反推”出的未能返航飞机的中弹情况

飞机装甲的问题被分配给了小组的统计学家瓦尔德来解决。他还获得了大量关于飞机损坏的统计数据，例如敌机命中造成的损坏位置。大部分损坏都位于机身，很少发生在发动机周围的区域，军方希望增加机身的装甲，因为机身被击中的密度最高。

瓦尔德说：

别着急，真正应该做的是在发动机周围增加装甲！别忘了，受损最严重的飞机飞不回来，你看不到他们，德国炮弹的击中位置大体是随机分布的，你看到的受损发动机的数量远低于随机可能遭到损坏的数量，这表明，发动机才是最需要装甲的位置。

这个建议被采纳了，而且事实上，瓦尔德对飞机损坏统计数据的不同解释在后来两个冲突中也被采纳。

这个飞机损坏故事就是“幸存者偏差”的一个例子。

这是一个我们都很清楚的术语：死者无法说出他们的故事，但有时候如果他们能说出的话，会更有帮助。

除去“幸存者偏差”这种经典的故事，

在军用飞行器的设计领域，

这瓦尔德真正做出的贡献又是什么？

瓦尔德作为统计研究组（SRG）的成员，通过战场资料（包括说飞机战损情况）来“反推”来研究了军用飞机战场的生存性问题，但得出的结论并不是“生存者偏差”就能简单概括的。

瓦尔德的理论，发布是1943年，在对当时军用飞机研制的影响，其实并不是那么具有“决定性”。特别是瓦尔德的所研究的实际内容要远比“生存者偏差”更为丰富。

下面大喵给大家列举一部分：

1、材料中所说的飞机，背景应该就是当时盟军对德国轰炸时的轰炸机，B-17、B-24，再后来的B-29轰炸机。

2、实际上，在二次世界大战爆发的时候，当时的军用飞机设计者们已经认识到为军用机增加装甲的重要性了。除了旧日本海军的战机外，绝大部分在二战期间服役的飞机，都或多或少具备有防弹油箱，座舱装甲等等防护谁被。而瓦尔德的研究，是给这些战场经验、工程经验提供了“理论模型”，提供了有力的科学的支持，并一起推动着飞机防护上的“改进”，优化设计。

强化防护就是要增加“死重”，就会牺牲飞机其他方面更重要的性能（速度、机动性、航程、载弹量）。因此关于防护力、生存性，这是个“度”的问题，必然有所取舍。因此，在二战中不仅仅是日本人曾经通过放弃防护，获得更好的飞机机动性。美国人同样也干过类似的事情。我们举一个例子：在欧洲战场，大部分B-17的损失是由于动力装置的问题，包括无顺桨能力，容易着火和爆炸。50%的损失是由于发动机遭受严重的破坏以至不能返回基地。任何一台发动机的问题就会造成这架飞机掉队、脱离编队，落单后就更易遭受攻击。在1/3的损失中，失火是主要原因。失火的主要地方是发动机短舱、机身和机翼，早期的B-17在短舱中装备灭火器，但在1943年春天，一项减重的计划取消了灭火器。1944年夏天又恢复了灭火器。所以，这就是防护与减重间的取舍、平衡。

3、瓦尔德等统计研究组（SRG）为军方勾画的理论模型，结合军方实际需求、设计人员的经验，进一步发展完善，应用于研判战损率、制定机组人员的任务架次（一个阈值，超过这个阈值再出动很大概率就…）等。

所以啊——请无视高考的问题，亦或者是飞机是不是应该增加装甲的问题。瓦尔德作为统计学家，自然干的不是这种简单的工作。真实的情况其实就是——瓦尔德通过数学的形式把飞机受损，任务出动，被命中的关系给呈现了出来。这一点才是真正的贡献。

那么，

这一切是怎么做到的？

我们不妨看看，

瓦尔德到底是怎么样推算的。

下文极为专业，

请有心理准备！

瓦尔德在他的备忘录中谈及了八点，其中五点讨论的是同一个问题，对被击中飞机存活的可能性进行了估计，并提供了一种估算无法返回飞机损坏的方法，确实非常神奇。备忘录中有一点——仅有一点——谈及了处理飞机不同部分易损性的问题，这与前面部分一些令人印象深刻的估计如出一辙。

根据已知的飞机受损数据，

如何估计

飞机被击中一定次数后存活的可能性？

这个问题不复杂，

但要回答并不简单。

我们对未返回飞机唯一知道的信息是它们没有返回，而飞机无法返回可能有多种原因，例如战争时期，某些死亡事故是机械故障造成的，瓦尔德当然得非常小心。人们可能认为，原则上可能是，所有被击落的飞机都没油了，但关键是这不太可能。换言之，这个问题的任何回答都会因与未返回飞机相关的缺失数据而变得复杂。瓦尔德只能通过做出一些合理的假设来计算概率，并且在估计此种假设对最终回答的影响时，要极其谨慎。事实上，在他所有关于统计学的著作中，他对待假设都极其谨慎。

他的第一个简化假设是飞机因敌人火力而被击落，而非机械故障。

如此，瓦尔德需要哪些数据呢？

这似乎要视具体情况而定，但至少在关于问题，他得到了任务中派出的飞机数量、返回的数量以及每架返回飞机被击中的次数。在曼格尔和萨马涅戈的分析中：

数量

比率

执行任务的飞机

400=N

1.00

返回的飞机

380

0.95

坠落的飞机

20

0.05

未被击落的返回机

S0=320

0.80

被击中1次

S1=32

0.080

被击中2次

S2=20

0.050

被击中3次

S3=4

0.010

被击中4次

S4=2

0.005

被击中5次

S5=2

0.005

执行任务的N架飞机被分为两大组，即S存活飞机和L坠落飞机。这些飞机又根据它们被击中的次数被进一步划分：Ni是被击中i次的飞机总数，而对于类似的Si和Li，当然我们了解Si所有情况，但对Li，除了以下三点，一无所知：（1）L=∑Li=NS；（2） Li+Si=Ni，以及（3）L0=0，因为我们假设所有未返回的飞机均因被击中而无法返回。令N≥i为Σj≥iNj总和，如此：

N = N

这似乎有点不可思议，但我们真正想做的是Li所缺失的数字，或者至少以合理的方式对它们进行估计，而这乍看起来好像是魔术师才能完成的任务，而数学家不可能完成。

如果按曼格尔和萨马涅戈的分析来思考这个问题，问题可能会非常复杂。但是，瓦尔德的推理非常简单。他的一个想法是引入变量，如此至少给我们一些进行估计的机会，而根据估计，所有其他数值都能计算出来。将pi作为第i次被击中而坠落的条件概率，而飞机在i-1次被击中后能存活下来。因此p1仅仅是飞机第一次被击中而坠落的概率，而pi是≥i次被击中但在第i次被击落的概率。在以下等式中：

我们也可以写成：

下面是魔术成真的基础：我们知道Si是什么。因此，Li的最后一个方程是一个可以通过Li的归纳法求解的方程，因为我们已知L0 = 0，只要我们知道pi，那么：

当然，这样会有一个问题——我们如何确定pi？简单来说，我们无法确定，但是，瓦尔德可以对其进行多种估计，他提出的观点让我觉得越去理解它，越觉得妙不可言。

令 qi=1pi，这是被击中i次存活飞机的条件概率，因为至少会被击中i次。这些是我所称瓦尔德基本方程中的主要因素：

我会尽力简短地解释这个方程如何而来，就我所知这个方程式不难推导，它是包含几个未知数的单一方程，因此一般情况下可能会有多种解法，瓦尔德的方法是在这多种解法中找到最有可能的一种解法。

但首先，需要知道我们如何通过这个方程得出pi的近似值。根据瓦尔德以及曼格尔和萨马涅戈的分析，我们先来看一个很简单的例子。我们假设飞机被击中会降低飞机性能，或者至少不会提高其性能，这意味着：

q1≥q2≥…

但作为第一个非常粗略的估计，我们可以假设所有的qi相等，因此对于分母而言：

q1q2…qi=qi

因此q基本是固定的，这相当于假设飞机被击中不会降低飞机性能，而这几乎是不可能的。据此，瓦尔德基本方程变成：

而在我们的例子中：

这就是说，q是这个简单方程的根，下文左边的函数图中，水平线值设在0.20，图中显示q的值约达到0.85，再使用牛顿法等精确计算一下，数值还能精确到0.851（但考虑到数据并不细致，小数点第三位不能作数）。

基于这一点，瓦尔德的备忘录继续应用基本方程式，以便通过更细致的论证来找到q可能值的合理范围，而不是精确猜测。之后，他将相似的技术应用于确定飞机最致命的被击中位置问题上。瓦尔德不是不是巫师，但却是能创造奇迹的魔术师，他可能无法让无法返回的飞机说话，但能抽丝剥茧进行估计。

数学魔术

我并非在讨论话题，而是尝试解释基本方程式的来源。

瓦尔德非常聪明，他做了一件只有数学家才会喜欢的事情。他说实际上，可以设想一个假想场景，其中只发射了虚拟子弹。我认为这个论点有点模糊，这是因为它的合理性似乎取决于我所没有的概率直觉。所以出于较不冒险的考虑，我提出了一些新的想法。

我从瓦尔德提到的内容开始，这些内容似乎很重要但并未广泛使用：一架飞机被击中的次数是有限的，因此对某些n而言，N>n=0。在我们的例子中，n=5。现在pi归纳公式告诉我们：

这是对所有的i而言。结合这些因素，我们首先可以推导出：

但是我们也推导出归纳公式：

这样形成了序列公式：

最后一个方程就是瓦尔德的基本方程！

已证！

编辑：刘煊、于舟

排版：宣岳、侯佳麒

监制：王兰

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