数学整体思想站得高 看得远 及时发现处理问题的途径
大家都听过盲人摸象的故事,每个人摸的都是同一头象,但摸到的都是大象不同的部分,即使每个人都真实反映摸到大象的感觉,但每个人都没有准确描述大象。这个故事说明看事情如果只了解事物的局面,就会产生认识上的片面性,难以整体把握全局。所以分析问题要全面整体,不能分割开来单独研究,这也就是数学思想中的整体思想。
整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。
做数学题某种程度就像盲人摸象,题目中有的条件已知,但有的条件是隐含的,需要我们逐一分析后整体考虑,才能真正读懂题目,从而有效解决问题。数学中整体思想有着非常重要的应用。比如:整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体拼凑和整体构造。
整体代换,根据问题的条件和结论,选择一个或几个代数式,将它们看成一个整体,灵活地进行等量代换,从而达到减少计算量的目的。
整体设元,将数学表达式中的一部分用新的未知数表示,作为一个整体参与到计算中,从而达到化繁为简化,难为易的目的。
整体变形,将问题中取某些局部运算做整体变形。然后使之呈现规律性的结构形式,从而达到简化问题和减少运算量的目的。
整体补形,根据题设条件,将原题中的图形补足为某种特殊的图形,沟通题设条件与特殊的图形之间的关系,从而突出问题本质,找到较简捷的解法和证法。
整体拼凑,将问题中的条件和结论进行适当的拼凑,使之结构形式特殊化公式化,再利用相关性质进行求解,已达到解答问题的目的。
整体构造,问题中某些代数是赋予具体的几何意义,构造出几何图形,利用数形结合的思想来解答问题。
解决问题中,要避免“只见树木,不见森林”的局限性,整体思想从问题的整体入手,把握问题的答题脉络,从全面的角度来把握问题的内容和解题方向的策略。整体思想的应用,可以使我们站得高、看得远,及时发现处理问题的途径。