导数的几何意义教学设计
导数的几何意义教学设计
学习目标:
1。了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2。理解曲线的切线的概念;
3。通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并能运用导数的几何意义解决相关问题
学习重难点:
1。发现和理解导数的几何意义
2。应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题
学习过程
(一)、复习引入
1.平均变化率、割线的斜率
2。 导数的概念、求导数的步骤
提出问题
我们知道,导数表示函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率,反映了函数y?f(x)在x?x0附近的变化情况,导数f?(x0)的几何意义是什么呢?
(二)、自学探究
如图3。1—2,观察当Pn(xn,f(xn))(n?1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?
(1)如何定义曲线在点P处的切线?
( 2 )割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?
(3)切线PT的斜率k为多少?
说明: 当?x?0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率。
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在x?x0处的导数。
(三)、小组交流
导数的几何意义
(1)函数y?f(x)在x?x0处的导数的几何意义是什么?
(2)将上述意义用数学式表达出来。
(3)根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?
(四)、展示成果
例1 如图3。1—3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)??4。9x?6。5x?10,
根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况。
解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线,
刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况。
(1) 当t?t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0的斜率,
所以,在t?t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降。
(2)当t?t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的`斜率所以,在t?t1附近曲线下降,
即函数h(x)??4。9x?6。5x?10在t?t1附近单调递减。
(3)当t?t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 ,
所以,在t?t2附近曲线下降,2即函数h(x)??4。9x?6。5x?10在t?t2附近单调递减.
从图3。1—3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,
这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢。变式
根据图3。1—3,请描述、比较曲线h(t)在t3、t4附近的变化情况
结论:根据导数的几何意义,?当某点处导数大于零时,说明在这点的附近曲线是 的,即函数在这点附近是单调递 ;?当某点处导数小于零时,说明在这点的附近
曲线是 的,即函数在这点附近是单调递 ;
例:
(1)若曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x?y?1?0,则f?(x0)?
(2)求曲线f(x)?x2?1在点P(1,2)处的切线方程。
(五)反馈 (达标训练)
1、已知函数y?f(x) f?(x)与f?(x)则AByA。f?(xA)?f?(xB)
2、已知点P和点Q是曲线y?x?3上的两点,且点P的横坐标是1,点Q的横坐标是2,求:
(五)、总结
(1)割线PQ的斜率;(2)点P处的切线方程 B。f?(xA)?f?(xB) C。f?(xA)?f?(xB) D。不能确定 2 x
课后作业:
1、习题3。1 A组 第5题
2、曲线y??x在点(?1,1)处的切线方程是
3、曲线f(x)?2x2在点A(2,8)处的切线斜率为??