隐藏在海昏侯墓中的数学之谜

作者：王金中

中国古代把数学叫做算经，也叫算术或算法。汉代已经出现了世界上最早的一批数学专著——《周髀（bì,音壁）算经》、《九章算术》、《律历算法》等，形成了中国古典数学体系。古代的数学有很强的实用性，天文、地理、水利、农田、税赋、货币、度量、建筑、制造、医药等，都包含着或简单或复杂的数学问题。海昏侯墓出土的许多器物就充满了古老的数学之谜，只不过有的是谜面，有的是谜底，更多的是笼罩在器物上的迷雾，需要人们认真地去探究，破解一个个哑谜，剥开一层层迷雾，从而展示出我们的祖先在数学方面所取得的令人骄傲的辉煌成就。

一、《易经》中的数学之源

在海昏侯墓的文书档案库中，发现了《易经》类的竹简文字，通过红外扫描，目前解读出其中一枚的内容为：“≡≡屯建建者建也。彖（tuàn）北方一餃北方一辛壬癸丑，上经一，中冬□龙吉夏凶（图1）。”这是《易经》中的卦一“乾”。看来，汉代把“乾”也称为“建”，其排序与传世《易经》相同，但内容却存在着较大的差别。

图1

在汉代，“罢黜百家，独尊儒术”的汉武帝，把《易经》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》这五经，作为儒学必修的经典，还设立了五经博士的学位。《易经》又称《周易》，素有“群经之

首”和“大道之源”的称誉，堪称是中华文化的“源头活水”，它对中国文明的形成与发展起到了非常重要的奠基作用，其中就蕴含着丰富的数学思想和数学方法。

首先，《易经》记录了中国最早的数字概念。“乾一、兑二、离三、震四、巽（xùn）五、坎六、艮七、坤八”；“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦生六十四卦”；“三才、五行、八卦、九宫”；“十天干、十二地支、六十甲子”等等，这些《易经》中的术语，表明了中国人在伏羲、神农和黄帝的时代，就有了较为完整的自然数概念，并且将这些变幻万端的数字概念运用到实际生活中。

其次，《易经》把自然数分为奇数和偶数，深化了古人对数字的认识。在《易经》中，天为奇数，地为偶数。“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十五（即1﹢3﹢5﹢7﹢9﹦25），地数三十（即2﹢4﹢6﹢8﹢10﹦30），凡天地之数五十有五。此所以成变化而行鬼神也。”

再次，《易经》根据社会生活的需要，确立了计数中的二进制、五进制、十进制、十二进制、二十四进制、六十进制等多种方法。这些不规则的进位制，反映了社会生活的多样化。二进制适应了用最简单的两个数码代表八卦的生成；五进制反映的是金、木、水、火、土五行构成世间万物变化循环不已的概念；十进制的产生为快速进行筹算创造了先决条件；十二进制与二十四进制最初都是以一年分为十二个月、同时又分为二十四节气密切相关；而六十进制则与“十天干”“十二地支”轮回相配为一甲子对应。这其中“八卦生成和二杈树”中所表达的二进制原理（图2），深刻启发了十七世纪德国大数学家、微积分和数理逻辑的创始人莱布尼茨，发明创造了现代电子计算机的运算基础。

图2

第四，《易经》中包含着四则运算以及乘方、开方的运算方法。由于《易经》最早起源于上古时代的天文学，那时人们的宇宙观是天圆地方，传说上万年前的伏羲和女娲，手里就拿着圆规和矩尺。伏羲的先天八卦就是用数字表现一年四季的时间坐标与阴阳二气的变化。因此，《易经》中充满了数学的运算，加、减、乘、除无所不有，乘方、开方频繁运用，只不过没有留下如同今天数学中的运算公式和运算过程。

海昏侯刘贺把《易经》终生带在身边，一定会喜爱这部经典，熟读这部经典，对其中的数字和运算了然于心，并运用到他一生中为王、为帝、为民、为侯以及经商的现实生活中去。

二、算板中的数学之理

在海昏侯墓中出土了一件史书中记载的“游珠算板”抑或“两仪算板”，拙文《游珠算板：海昏侯墓惊现古代算盘的雏形》中已作详细介绍。需要强调的是，这件古老的石质算板明白无误地透露出中国古典数学的另一项成就——十进制与位值制的确立。

十进制是指，每满十数向上进一个单位，如十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千，如此类推。位值制是指，上一个算位的数值是下一个算位的十倍，如“2”放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000，如此类推。两者结合起来，就叫十进位值制，简称十进位制。海昏侯墓出土的游珠算板上面的纵线和横线，分别代表着十进制与位值制（图3）。其中横线代表十进制，五道线中，上一线

图3

放置的算珠代表5，下四线放置的算珠各代表1，合计代表4。也就是说，五道横线放满算珠最多代表9，再加1就是10，必须进到上一位。纵线代表位值制，从右到左依次为个、十、百、千、万等算位（图4）。运用纵横交错的直线，把各种数字以坐标的形式科学地表示出来，在此基础上进行各种复杂的运算，是中国古代的一项伟大发明！

图4

海昏侯墓出土的这件游珠算板，可以说代表了当时中国的古典数学在世界上的领先地位。与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。而20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且是象形的，例如用一个鸟表示十万。文化比较发达的古希腊，由于看重几何，轻视计算，记数方法十分落后，用全部希腊字母表示一到一万的数字，字母不够的时候就在字母旁边增加符号“’”，如α表示一千，β表示二千等。现在世界通用的阿拉伯数字和记数法是印度古代人民创造的，但是印度在公元三世纪以前使用的记数法是希腊式和罗马式两种，都不是位值制，他们真正使用十进位制记数法出现在公元六世纪末。由此可见，我国古代的十进位制记数法，在世界数学史上占有重要的地位。

中国古典数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，一定程度上应该归功于游珠算板上所表现出来的十进位制的记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为“最妙的发明之一”，这是恰如其分的评价。

三、铜钱中的数学之问

在海昏侯墓的西北角，有一个最小的椁室——北藏阁钱库，这里发掘出堆积如山的大量铜钱“汉五铢”。一位考古人员数了几个月，才清理出“冰山”一角。经过初步估算，这堆铜钱大约有200余万枚之多，重量达到10吨左右（图5）。

图5

200余万枚铜钱，在汉代绝对是一个十分庞大的数字。从数学的角度来提问，古代中国是如何记录万以上的大数字呢？古人又是如何数出这200余万枚铜钱的呢？当初下葬的时候又是如何堆放在钱库中的呢？

首先，这样庞大的数字是如何记录的呢？按照公元190年前后的《数术记遗》中介绍，古代中国记录大数字的方法有三套。

第一套与现在的记数方法相同，即万之后是十万、百万、千万、亿，十亿、百亿、千亿、兆，十兆、百兆、千兆、京，以后是垓、秭(zǐ,音仔)、壤、沟、涧、正、载，都是以10的4次方进位。

第二套记数方法要小得多，万之后是亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载，都是以10的1次方进位。也就是说，使用第一套方法记录的200万枚铜钱，如果使用第二套方法记录就是2兆枚铜钱。

第三套记数方法要大得多，万之后按照10的8次方、16次方、32次方进位。也就是说，从万到亿是十万、百万、千万、万万、十万万、百万万、千万万、亿。记录这么大的数字，应该说是社会生活和科技发展的需要，证明汉代的文明已经发展到相当的高度。

其次，这么多铜钱当初是一个一个地数出来的吗？回答是否定的。因为大量的铜钱一个一个地去数，实在是一件费时费力的事情。据《汉书食货志》记载，汉武帝东巡时，“所过赏赐，用帛百余万匹，钱金以巨万计，皆取足大农。”又据《汉书东方朔传》记载，董偃为馆陶公主散财以交士，“并令中府曰：‘董君所发，一日金满百斤，钱满百万，帛满千匹，乃白之’。”试想，“巨万计”、“满百万”的铜钱能够在短时间内一个一个地数清吗？所以，汉代清点大量的铜钱一定另有门道儿。

据海昏侯墓考古人员介绍，当初铜钱是一串一串放置的，而串连铜钱的丝绳或麻绳早已腐朽成灰痕。好在绳子两头的单结尚可辨认。经认真清点，凡是两头都有单结的成串完整的五铢钱为1000枚。汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”（mīn,音岷），后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗。汉武帝实行的算缗、告缗政策，都是以千钱一缗为单位。这样，把数量庞大的铜钱以千钱一缗来清点，工作量无形中减少了上千倍！海昏侯墓中的200余万枚钱，实际上是2000余缗，数起来容易多了。

再次，总重量达到10余吨的200余万枚铜钱，当初在钱库中是如何堆放的呢？古今中外所有的金库、钱库放置贵重金属或钱币时，必须整齐码放，有序排列，规范严整，这样既便于存放，又便于清点，还能随时查看是否丢失、被盗。而海昏侯墓的钱库在发掘时，所有铜钱散乱成为一堆（图6），看不出曾经整齐码放

图6

和排列的痕迹。原因何在？这是因为其一，串铜钱的缗是用丝绳或麻绳做的，时间一长就腐蚀掉，成缗的铜钱在自身重量的作用下完全解体；其二，海昏侯墓曾经遭受到一次严重地震的袭击，在横向与纵向震动的作用下，堆放的大量铜钱被震散；其三，椁室的坍塌致使堆放的铜钱更加散乱。

那么，当初200余万枚铜钱是如何堆放的呢？前面说过，200余万枚铜钱实际上是2000余缗，如果用数学的方法堆起来，可以分为一堆、二堆、三堆、四堆或五堆。为了叙述方便，下面仅以一堆、三堆和五堆为例，作一个初步的探讨。

方案一：假设把2000余缗铜钱放在一起成为一堆，那么，底部并排码放70缗（设为a），然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗（设为b），共码放40层（设为c），这样，用数学公式计算：

(a＋b)×c÷2其中c＝a－b＋1

代入数字后为：

（70＋31）×（70－31＋1）÷2＝2020

也就是说，用2020缗铜钱堆成梯形的一堆。标准的汉五铢钱直径为25厘米，厚度为01厘米，粗略计算，这堆铜钱码放大约占地175平方米，摞起来有1米多高。

方案二：假设把2000余缗铜钱分为3堆，每堆不到680缗，用同样的方法计算，底部码放46缗，顶部码放29缗，共码放18层，这样，这堆铜钱共计675缗，3堆共计2025缗。每堆大约占地115平方米，3堆共占地345平方米左右，摞起来不到半米高，比起堆成一堆稳当多了。

方案三：假设把2000余缗铜钱分为5堆，每堆400余缗，用同样的方法计算，底部码放30缗，顶部码放11缗，共码放20层（图7）。这样，这堆铜钱共计410缗，5堆共计2050缗。每堆大约占地075平方米，5堆共占地375平方米左右，摞起来有半米多高。

图7

汉代把这种具有长方底及两斜面的楔形体，叫做“刍甍（méng,音盟）”。当然，如果海昏侯墓中钱库的面积足够大，还可以分为更多的“刍甍”来堆放。

四、铜环权使用中的数学之解

汉代人们称物体的重量，使用的是权与衡。权，其作用如同今天的砝码或秤砣；衡，其作用如同今天的秤杆，只不过没有刻度，提纽在秤杆的中间，衡盘放在两边，相当于等臂式天平。使用的时候只能用权的重量直接称出物体的同等重量。

海昏侯墓出土了一套铜环权，大大小小一共十二枚。其中最大的一枚上刻着“大刘一斤”，最小的一枚实测为五铢。从图片上观察，十二枚铜环权可以分为六组，每组两个，重量相等（图8）。

图8

汉代的衡制规定，1斤＝16两，1两＝24铢。这套铜环权第一组为1斤，第六组为5铢。目前在没有看到其他四组重量报告的前提下，参照已出土的战国时期楚国铜环权的制式，假设第二组为8两（半斤），第三组为4两，第四组为1两（24铢），第五组为12铢（半两）（图9）。现在的问题是，怎样用等臂式衡杆称出1～24铢与1～16两的重量呢？

图9

首先看1～24铢的称重方法。不可否认，由于铜环权最小的是5铢，因此，最难称的是小于5铢的1铢、2铢、3铢、4铢。但是客观上也存在着一个便利条件，就是汉代货币五铢钱制作非常标准，可以当5铢铜环权使用。

称1铢时，先拿出五枚5铢共25铢铜环权，放入右边的衡盘；再拿出1两（24铢）铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为1铢。

称2铢时，先拿出半两（12铢）铜环权，放入右边的衡盘；再拿出二枚5铢共10铢铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为2铢。

称3铢时，先拿出三枚5铢共15铢铜环权，放入右边的衡盘；再拿出半两（12铢）铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为3铢。

称4铢时，先拿出一两（24铢）铜环权，放入右边的衡盘；再拿出四枚5铢共20铢铜环权，与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为4铢。

按照同样的方法，可以任意称1～24铢物体的重量（图10）。

图10

再看1～16两的称重方法。由于有1两、4两、8两和16两四种重量的铜环权，因此可以任意组合称1～16两之间的重量（图11）。下面以称3两、11两、14两为例，略加说明。

称3两时，先拿出4两铜环权放入右边的衡盘；再拿出1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为3两。

称11两时，先拿出4两和8两（半斤）的铜环权放入右边的衡盘；再拿出1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为11两。

图11

称14两时，先拿出16两（1斤）的铜环权放入右边的衡盘；再拿出两枚1两铜环权与被称物体放入左边的衡盘，两边平衡时便得知被称物体的重量为14两。

据此，海昏侯墓出土的这套二千多年前的铜环权，设计十分科学，使用起来也是非常方便的。

五、标准量器制作的数学之答

海昏侯墓出土了几件有铭文的青铜器，非常珍贵，最典型的是昌邑籍田鼎（图12），上面的铭文是：“昌邑籍田铜鼎，容十斗，

图12

重卌（xì,音细）八斤，第廿。”还有一件青铜鋗的铭文是：“昌邑食官铭，容十斗，重卅斤，昌邑□□年造。”另一件青铜鋗的铭文是：“昌邑食官铭，容四斗，重十三斤十两，昌邑二年造。”其中两件“容十斗”，一件“容四斗”，说明这三件青铜器在汉代是标准的量器。

按照汉代的量制规定，1斛＝10斗，1斗＝10升。1升相当于现在的200毫升。标准的量器形状有立方形的（包括长方形和正方形），有圆柱形的，还有圆台形的。昌邑籍田鼎基本上属于圆柱形的，汉代叫“圆堡疇”。这里面就有一个数学问题：如果昌邑籍田鼎的容积是10斗也就是1斛的话，那么，这个圆柱体高度和直径的尺寸应该各是多少呢？

这是一个比较复杂的数学问题，因为它在运算过程中涉及到乘方、开方和圆周率。好在汉代史籍中已经给出了明确的答案。《汉书律历志》说：嘉量“其法用铜，方尺而圜其外，旁有庣（tiāo,音挑）焉。”东汉时期的“新莽嘉量”上的铭文中记下了更加精确的数据：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”

这里，“方尺而圜其外”，是中国古代定圆的方法，即先确定一个正方形的尺寸，再作外接圆；“庣旁”是指从这个正方形的对角线顶端到外圆圆周线的距离；“冥”同幂，指圆的面积；“深”指圆柱体的高度；“积”，指量器的容积。

从汉代史籍中给出的这个答案，我们可以推测出古代对于“圆堡疇”这种标准量器的计算方法。

第一步，先用勾股定理中以乘方和开方求弦的办法，计算出一尺（10寸）见方的对角线长度为141421356寸（图13）。

第二步，将方尺的对角线“庣旁”，两头各延长九厘五毫，即0095×2寸，算出底部圆形直径为143321356寸，半径为71660678寸。

图13

第三步，用半径的平方乘以圆周率，即71660678的平方×π，得出“冥百六十二寸”，即底面积为162平方寸。

第四步，用底面积乘以“深尺”即高，得出圆柱体的体积为162平方寸×10寸＝1620立方寸，容积为10斗。

同样的计算方法，也可以用在标准量器——容积为四斗的青铜鋗上。圆柱体的底面积不变，高度从1尺（10寸）变为4寸，即为标准的四斗。

这里有必要谈一谈我国古代圆周率的数值问题。汉代以前，按照《周髀算经》“径一而周三”的记载，圆周率为3，是一个大概的数值。海昏侯墓出土的昌邑藉田鼎这类标准量器，提供了西汉时期对圆周率的新认识。如果用已知圆柱体底面积162平方寸，除以半径71660678寸的平方，可以得出当时的圆周率为31547弱，说明我国在二千多年前对圆周率的认识已经相当准确了。400多年以后，南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之,在世界上最早求得更加精确的圆周率为31415926～31415927之间，并且以此考校汉代量器在计算方面的误差，证明“庣旁”少了一厘四毫。这就充分反映了中国古典数学在不懈的探索中所显示出来的实用性、传承性和精确性。

六、更多待解的数学之谜

隐藏在海昏侯墓中的数学之谜还有很多，需要人们继续去关注、破译和解答，例如：

①海昏侯墓出土的一套用于盛放化妆品的漆奁（lián,音连）盒，一个大奁盒里面套着三个形状不同的小奁盒（图14），这里面就涉及到中国古典数学中的“容圆问题”。问题一：当初如果先有大奁盒，在设计的时候，三个小奁盒做大了放不进那个大奁盒，做小了又浪费空间。如何用数学的方法精确计算出三个形状不同的小奁盒的尺寸，保证做出来的小奁盒正好充满那个大奁盒？问题二：当初如果先有三个小奁盒，在设计的时候，三个小奁盒正好能够摆放到那个大奁盒之中，那么，大奁盒的尺寸应该是多少呢？

图14

②漆器在汉代是高档的物品，制作成本比青铜器还要高。海昏侯墓中出土了大量的漆器，其中有的上面还有铭文（图15），记录着制作数量、用漆量、用工量、丑布（一种制作夹贮胎的麻布）和丹臾（一种颜料）的用量等。根据漆器上的这些铭文，如何计算出每件漆器制作时的实际成本？能否分别计算出用工成本和用料成本？

图15

③汉代把一天划分为12个时辰，同时又划分为100刻（现代为96刻）。海昏侯墓出土的一面用于测量时间的镜晷（图16），既要测出一天12个时辰，又要测出一天100刻。怎样在不出现小数和分数的情况下，科学地划分出每个时辰相对应的刻度？

图16

④考古人员发现，用于建造海昏侯墓椁室的一件方木上刻着“三尺九”。经分析研究，这个尺寸是圆木的直径，这说明汉代已经掌握了圆木取方的计算方法。现在已知圆木的直径，那么，如果做成截面为正方形的木材其边长最大是多少？

⑤海昏侯墓出土了一组青铜水盆，大小基本相同（图17）。实际上这组青铜水盆的学名叫做铜鉴，是古代盛水的用具，同时可

图17

照面容。从形状上看，这组铜鉴有点像后来的量器——升。如果把它反过来就是一个标准的圆台体，汉代叫做“圆亭”或“圆圌（chuán,音传）。而圆圌最初是指古代贮藏粮食的圆囤。现在需要计算一下，这个圆圌的容积是多少？

⑥海昏侯墓的墓道开挖时，坡度越小，越便于搬运建筑木料和随葬物品，但同时增加了土方量；反之，如果坡度越大，越不便于搬运木料和随葬物品，但可以大大减少土方量。现在实测墓道长度达到16米以上。当初设计墓道的时候选用多大的坡度，既要让开挖的土方量较少，又便于搬运木料和随葬物品？

⑦海昏侯墓出土的滴水计时的刻漏（图18），又称为滴漏或漏

图18

刻。刻漏装满水后，在不同的水压下，其流速是不同的，压力越大，流速越快；压力越小，流速越慢。这样就造成了刻漏在计时过程中开始流速快，后来流速慢，快慢之间形成一定的误差。如何用数学的方法控制或消除这个误差？再有，刻漏中的水在不同温度下密度不同，一般地说，温度越高，密度越小；温度越低，密度越大。在4℃时密度最大。尤其是在冬季，白天与黑夜的温差很大，水的密度也会变化，影响到水滴的生成，计时过程中也会形成一定的误差。如何用数学的方法控制或消除这个误差？

这些仍待破解的数学之谜，更增添了海昏侯墓的迷人之处。人们把数学比喻为科学皇冠上的明珠。当我们破解隐藏在海昏侯墓器物上的各种数学问题，拨开迷雾，解开哑谜，中国古代科学皇冠上的那颗数学明珠，便焕发出璀璨的光芒，成为照亮中华大地上的一片文明曙光。

2017年4月23日

本文摘自王金中著《管窥汉代文明之光——海昏侯墓出土文物探析》

本文参考资料：《史记》、《汉书》、《中国科学技术史（李约瑟）》、《中国通史（白寿彝）》、《中国历代度量衡考(丘光明)》、《中国古代发明》、《图解周易大全》、《考古20167》；《南昌汉代海昏侯国考古成果展》展板说明、近期报刊有关新闻报道。

图片来源：《五色炫曜》、《惊世大发现》展览、首都博物馆网站。